📐 Matemáticas en el Saber 11

Cuatro cursos, cada uno con igual número de estudiantes, presentan anualmente una prueba de matemáticas. La tabla muestra el puntaje promedio obtenido por cada curso. Promedios de los puntajes en el examen por cursos CursoIIIIIIIV Promedio año anterior 63615053 Promedio año actual 65455354 Al revisar los puntajes de la tabla, una persona afirma que hubo un aumento en el puntaje respecto al año anterior. Esta afirmación es

• A. Correcta, ya que el promedio de la mayoría de los cursos aumentó respecto al año anterior.
• B. Incorrecta, ya que el promedio total en el año anterior es superior al promedio total en el año actual.✓ Correcta
• C. Correcta, ya que al observar todos los promedios, el mayor corresponde al curso I en el año actual.
• D. Incorrecta, ya que se necesita el puntaje de cada estudiante para realizar la comparación.

**Por qué B es correcta:** Como los cuatro cursos tienen igual número de estudiantes, se puede calcular el promedio general sumando los promedios de cada año y dividiendo entre 4. Año anterior: (63+61+50+53)/4 = 227/4 = 56,75. Año actual: (65+45+53+54)/4 = 217/4 = 54,25. Como 56,75 > 54,25, el rendimiento general realmente disminuyó, así que la afirmación de que hubo un aumento es falsa. **Por qué A es incorrecta:** Aunque es cierto que 2 de los 4 cursos (I y III) mejoraron, esto ni siquiera representa la mayoría (sería igual a la mitad), y además el hecho de que "más cursos suban" no garantiza que el promedio conjunto aumente, porque las bajadas (como la fuerte caída del curso II, de 61 a 45) pueden pesar más que las subidas. **Por qué C es incorrecta:** Que un solo curso (el I) tenga el valor más alto de toda la tabla no dice nada sobre el comportamiento general de los cuatro cursos juntos; es un dato aislado que no permite concluir si el promedio total subió o bajó. **Por qué D es incorrecta:** No es necesario conocer el puntaje individual de cada estudiante, porque al tener el mismo número de estudiantes por curso, los promedios ya proporcionados son suficientes para calcular el promedio general de cada año y hacer la comparación correctamente.

Una persona que vive en Colombia tiene inversiones en dólares en Estados Unidos, y sabe que la tasa de cambio del dólar respecto al peso colombiano se mantendrá constante este mes, siendo 1 dólar equivalente a 4.000 pesos colombianos y que su inversión, en dólares, le dará ganancias del 3 % en el mismo periodo. Un amigo le asegura que en pesos sus ganancias también serán del 3 %. ¿La afirmación de su amigo es correcta?

• A. Sí, porque, sin importar las variaciones en la tasa de cambio, la proporción en que aumenta la inversión en dólares es la misma que en pesos.
• B. No, porque debería conocerse el valor exacto de la inversión para poder calcular la cantidad de dinero que ganará.
• C. Sí, porque el 3 % representa una proporción fija en cualquiera de las dos monedas, puesto que la tasa de cambio permanecerá constante.✓ Correcta
• D. No, porque el 3 % representa un incremento, que será mayor en pesos colombianos, pues en esta moneda cada dólar representa un valor 4.000 veces mayor.

**¿Por qué C es correcta?** Si la inversión en dólares es $D$ y crece un 3%, el nuevo valor es $1,03D$. Al convertir a pesos con una tasa fija $T$, el valor inicial es $D \cdot T$ y el final es $1,03D \cdot T$. Como $T$ es constante, multiplicarla no altera la proporción del crecimiento: sigue siendo $1,03$ veces el valor inicial, es decir, 3% de ganancia en ambas monedas. La clave es que el porcentaje es una razón (una multiplicación), y multiplicar por una constante no cambia esa razón. **¿Por qué las otras opciones son incorrectas?** - **A** es incorrecta porque su justificación es errónea: dice que la igualdad se mantiene "sin importar las variaciones en la tasa de cambio", pero en este problema la tasa es *constante*, no variable. Si la tasa cambiara durante el periodo, la ganancia en pesos ya no sería necesariamente del 3%, así que el argumento de A no aplica a este caso y generaliza mal el concepto. - **B** es incorrecta porque confunde el monto exacto en dinero con el porcentaje de ganancia. No se necesita saber el valor exacto de la inversión para determinar que la *proporción* de crecimiento (3%) es la misma en ambas monedas; el porcentaje es independiente de la cantidad inicial. - **D** es incorrecta porque interpreta mal cómo funciona la conversión de moneda: aunque cada dólar valga 4.000 veces más en pesos, ese factor de 4.000 se aplica por igual al valor inicial y al valor final de la inversión, por lo que se cancela al calcular la proporción de ganancia. El incremento porcentual no se "amplifica" por la tasa de cambio, solo cambia la unidad en que se expresa el dinero.

Las directivas de un colegio tienen que organizar un viaje a un museo con 140 estudiantes, quienes deben dividirse en 3 grupos. Cada grupo irá en una franja diferente, pero el costo total de las entradas se asumirá equitativamente por los estudiantes. En la tabla se muestran los horarios disponibles, la máxima cantidad de estudiantes y los precios respectivos de cada horario. FranjaHorario Cantidad máxima de estudiantes Precio entrada por estudiante 8:00 - 10:0050$ 35.000 10:00 - 12:0040$ 40.000 12:00 - 14:0030$ 50.000 14:00 - 16:0060$ 45.000 Con el fin de que todos los estudiantes asistan y paguen el menor precio, las directivas eligieron las franjas 1, 3 y 4. ¿Esta elección garantiza que asistan todos los estudiantes al menor precio posible?

• A. Sí, porque esas franjas suman exactamente 140 estudiantes.
• B. No, porque es posible obtener un precio menor eligiendo la franja 2 en lugar de la franja 3.✓ Correcta
• C. Sí, porque se incluyó la franja 1 que es la de menor precio por estudiante.
• D. No, porque en la franja 3 la cantidad máxima de estudiantes es 30.

**Por qué B es correcta:** Con las franjas 1, 3 y 4 se cubren 50+30+60=140 estudiantes, con un costo total de (50×35.000)+(30×50.000)+(60×45.000) = 1.750.000+1.500.000+2.700.000 = $5.950.000. Si en cambio se elige la franja 2 en lugar de la 3, se cubren 50+40+60=150 estudiantes (más que suficiente para los 140), con un costo total de (50×35.000)+(40×40.000)+(60×45.000) = 1.750.000+1.600.000+2.700.000 = $6.050.000... Espera, hagamos bien la comparación por estudiante que realmente asiste: como solo hay 140 estudiantes, se debe ajustar la cantidad que va en cada franja. Al reemplazar la franja 3 (30 estudiantes a $50.000) por la franja 2 (donde caben hasta 40 estudiantes a $40.000, pero solo se necesitan 30 para completar los 140), el costo de esos 30 estudiantes baja de $1.500.000 a $1.200.000. Esto reduce el costo total a pagar entre los 140 estudiantes, por lo que la combinación 1, 2 y 4 resulta más económica que la 1, 3 y 4. **Por qué las otras opciones son incorrectas:** - **A)** Es cierto que 50+30+60=140, pero cumplir la cantidad exacta no implica que sea la combinación más barata; el enunciado pide el *menor precio*, no solo cubrir el cupo. - **C)** Incluir la franja 1 (la más económica) es necesario pero no *suficiente* para garantizar el mínimo costo total, porque las otras dos franjas elegidas (3 y 4) no son las más baratas disponibles para completar los 140 estudiantes. - **D)** El límite de 30 estudiantes en la franja 3 no es un problema en sí mismo (esa franja sí puede usarse), sino que el error está en el *precio* de esa franja ($50.000, el más alto), no en su capacidad máxima.